Série n° 2 — Les ondes mécaniques

Série n° 2 : les ondes mécaniques

ONDES MÉCANIQUES PROGRESSIVES ET PÉRIODIQUES

بسم الله الرحمان الرحيم

Prof. M. samir
Physique — 2^ème Bac SM

EXERCICE 1 — Vibreur et corde

L’extrémité S d’une longue corde élastique, tendue horizontalement, est reliée à une lame vibrante animée d’un mouvement sinusoïdal de fréquence $N$. Le mouvement de S commence à l’instant $t = 0$, vers le haut. Un dispositif placé à l’autre extrémité empêche toute réflexion. La figure 1 représente l’élongation $y_{\mathrm{M}}(t)$ d’un point M de la corde (a) et l’aspect de la corde à un instant $t_1$ (b).

(a) Élongation du point M

(b) Aspect de la corde à l’instant t₁

Fig-1- — (a) élongation y_M(t) — (b) aspect de la corde à l’instant t₁

DONNÉES

Distance entre la source et le point M : $SM = 50\ \mathrm{cm}$ ; l’amortissement est négligé.
Tension de la corde : $F = 0{,}32\ \mathrm{N}$ ; masse linéique : $μ = 20\ \mathrm{g\cdot m^{-1}}$ ; célérité de l’onde : $v = \sqrt{\frac{F}{μ}}$.

Donner le nombre d’affirmations justes parmi les affirmations suivantes :
a. L’onde qui se propage le long de la corde transporte de la matière.
b. Chaque point de la corde reproduit le mouvement de la source S avec un retard.
c. L’onde qui se propage le long de la corde est une onde longitudinale.
d. La longueur d’onde est la distance parcourue par l’onde pendant une période.
Déterminer, à l’aide de la figure 1, la période $T$ et la longueur d’onde $λ$ de l’onde.
Déterminer le retard temporel $τ$ du point M par rapport à la source S, puis en déduire la célérité $v$ de l’onde.
Déterminer l’instant $t_1$ qui correspond à l’aspect de la corde représenté sur la figure 1 (b).
Écrire l’élongation $y_{\mathrm{M}}(t)$ du point M en fonction de l’élongation $y_{\mathrm{S}}(t)$ de la source.
Comparer, en justifiant, l’état vibratoire du point M à celui de la source S.
Sans modifier $N$, on augmente la tension de la corde. Déterminer la plus petite valeur $F'$, supérieure à $F$, pour laquelle le point M vibre en phase avec la source S.

EXERCICE 2 — Canal à houle

Dans un laboratoire d’hydraulique, un batteur S placé à une extrémité d’un long canal rempli d’eau, de profondeur constante, crée à partir de l’instant $t = 0$ une onde progressive sinusoïdale de fréquence $N = 1{,}00\ \mathrm{Hz}$ à la surface de l’eau. Une plage absorbante empêche toute réflexion. Deux sondes A et B, reliées à un système d’acquisition, enregistrent l’élongation de la surface de l’eau à leur niveau (figure 2).

(a) Coupe du canal

(b) Enregistrement

Fig-2- — Canal à houle et élongations enregistrées par les sondes A (Y_A) et B (Y_B)

DONNÉES

$AB = 2{,}74\ \mathrm{m}$ ; sensibilité horizontale : 0,5 s/div ; l’enregistrement commence à $t = 0$ ; l’amortissement est négligé.
On admet que le front de l’onde se propage avec la célérité $v$ de l’onde.
Écart angulaire de diffraction : $θ = \frac{λ}{a}$ ($θ$ en radian, $a$ largeur de l’ouverture).
Longueur d’onde mesurée dans le canal pour différentes fréquences du batteur (tableau ci-dessous).

$N$ (Hz)	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50	2,00
$λ$ (m)	3,26	2,03	1,37	0,96	0,69	0,39

Préciser, en justifiant, le type de l’onde qui se propage à la surface de l’eau. Un petit flotteur posé en A se déplace-t-il vers B ? Justifier.
Déterminer, à l’aide de la figure 2 (b), la période $T$ de l’onde et le retard temporel $τ$ de la sonde B par rapport à la sonde A.
Calculer la célérité $v$ de l’onde, puis sa longueur d’onde $λ$.
Écrire l’élongation $y_{\mathrm{B}}(t)$ en fonction de $y_{\mathrm{A}}(t)$, puis en déduire que les points A et B vibrent en phase.
Montrer, à l’aide du tableau, que l’eau du canal est un milieu dispersif.
Le canal débouche dans un grand bassin de même profondeur, par une ouverture de largeur $a = 1{,}00\ \mathrm{m}$. Pour $N = 1{,}00\ \mathrm{Hz}$, nommer le phénomène observé au-delà de l’ouverture, justifier son importance, puis préciser la forme des lignes de crêtes et la longueur d’onde dans le bassin.
On règle le batteur sur $N = 2{,}00\ \mathrm{Hz}$. Calculer l’écart angulaire $θ$, puis l’angle $α$ qui délimite la zone du bassin atteinte par l’onde.

EXERCICE 3 — Anémomètre à ultrasons

Un anémomètre à ultrasons mesure la vitesse du vent sans aucune pièce mobile. Il comporte, dans un plan horizontal, deux paires de transducteurs : $(T_1, T_2)$ suivant l’axe Ox et $(T_3, T_4)$ suivant l’axe Oy (figure 3). Chaque transducteur peut émettre et recevoir des salves ultrasonores brèves et sinusoïdales, de fréquence $N$.

Le système mesure les durées de parcours de $T_1$ vers $T_2$ ($t_1$), de $T_2$ vers $T_1$ ($t_2$), de $T_3$ vers $T_4$ ($t_3$) et de $T_4$ vers $T_3$ ($t_4$) ; elles sont données dans le tableau ci-dessous.

Durée	$t_1$	$t_2$	$t_3$	$t_4$
valeur (µs)	566,7	586,7	563,5	590,1

Fig-3- — Anémomètre vu de dessus
(direction du vent indicative)

DONNÉES

$L = T_1T_2 = T_3T_4 = 20{,}0\ \mathrm{cm}$ ; $N = 40\ \mathrm{kHz}$.
Vitesse des ultrasons par rapport au sol : $\vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{u}$, où $\vec{v}_0$ est leur vitesse dans l’air immobile et $\vec{u}$ la vitesse du vent, de composantes $u_x$ et $u_y$. On admet que, pour chaque paire, seule la composante du vent suivant l’axe de la paire modifie la célérité.
Célérité dans l’air immobile : $v_0 = \sqrt{\frac{γ\cdot R\cdot T}{M}}$, avec $γ = 1{,}40$ (sans unité), $R = 8{,}31\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}$, $M = 29{,}0\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ et $T$ la température absolue ; $1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2}}$ ; $T(\mathrm{K}) = θ(°\mathrm{C}) + 273$.

Les ultrasons sont des ondes mécaniques. Préciser, en justifiant, leur type. Cet anémomètre peut-il fonctionner dans le vide ? Justifier.
Exprimer les durées $t_1$ et $t_2$ en fonction de $L$, $v_0$ et $u_x$.
Montrer que : $$u_x = \frac{L}{2}\left(\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2}\right) \qquad \text{et} \qquad v_0 = \frac{L}{2}\left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\right)$$$$u_x = \frac{L}{2}\left(\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2}\right)$$$$\text{et} \quad v_0 = \frac{L}{2}\left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\right)$$puis calculer $u_x$ et $v_0$.
Calculer la longueur d’onde des ultrasons qui se propagent de $T_1$ vers $T_2$, puis de $T_2$ vers $T_1$. Expliquer pourquoi ces deux valeurs sont différentes.
Vérifier, à l’aide des unités, que la relation qui donne $v_0$ conduit à une vitesse en $\mathrm{m\cdot s^{-1}}$, puis déterminer la température $θ$ de l’air en °C.
Déterminer la valeur $u$ de la vitesse du vent et l’angle $α$ que fait sa direction avec l’axe Ox.
Un anémomètre plus simple n’utilise que la durée $t_1$ et une célérité $v_0 = 340$ $\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ fixée à l’avance. Calculer la valeur de $u_x$ qu’il indiquerait, puis expliquer l’intérêt de la mesure dans les deux sens.