Série n° 1 : les ondes lumineuses

On éclaire une fente verticale de largeur $a = 0{,}10\ \text{mm}$ à l’aide d’un laser hélium–néon qui émet une lumière monochromatique de longueur d’onde dans le vide $\lambda_0 = 633\ \text{nm}$. Un écran est placé à la distance $D = 2{,}00\ \text{m}$ de la fente. On observe alors sur l’écran des taches lumineuses séparées par des zones sombres ; la tache centrale, la plus brillante, a une largeur $L$ (figure ci-dessous).

1. Nommer le phénomène observé sur l’écran.
2. Calculer la fréquence $\nu$ de la lumière émise par le laser.
3. Donner l’expression de la largeur $L$ de la tache centrale en fonction de $\lambda_0$, $D$ et $a$, puis calculer $L$.
4. On remplace la fente par un fil fin de diamètre $a_1$. On mesure alors $L_1 = 3{,}8\ \text{cm}$. Calculer $a_1$.

Une source lumineuse émet trois radiations monochromatiques : la radiation $R_1$ de fréquence $\nu_1 = 4{,}3\times10^{14}\ \text{Hz}$, la radiation $R_2$ de longueur d’onde dans le vide $\lambda_2 = 532\ \text{nm}$ et la radiation $R_3$ de fréquence $\nu_3 = 1{,}2\times10^{15}\ \text{Hz}$. Le document ci-dessous rappelle le spectre des ondes électromagnétiques.

1. Calculer $\lambda_1$ et $\lambda_3$, les longueurs d’onde dans le vide des radiations $R_1$ et $R_3$, puis la fréquence $\nu_2$ de la radiation $R_2$.
2. Donner, pour chaque radiation, son domaine (U.V., visible ou I.R.) en utilisant la figure 2, puis la couleur des radiations visibles.
3. Les trois radiations traversent la même fente de largeur $a = 0{,}10\ \text{mm}$. Calculer l’écart angulaire $\theta$ pour chaque radiation. Quelle est la radiation la plus diffractée ?
4. La radiation $R_2$ pénètre dans l’eau. Calculer sa vitesse $v$ et sa longueur d’onde $\lambda$ dans l’eau. Quelle est sa fréquence dans l’eau ?

L’indice de réfraction $n$ d’un verre dépend de la longueur d’onde dans le vide $\lambda_0$ de la radiation qui le traverse. On modélise cette dépendance par la loi de Cauchy : $n = A + \dfrac{B}{\lambda_0^{2}}$, où $A$ et $B$ sont deux constantes. On mesure l’indice du verre pour deux radiations, puis on trace la courbe $n = f\!\left(\dfrac{1}{\lambda_0^{2}}\right)$ ci-dessous.

1. Déterminer graphiquement les constantes $A$ et $B$, puis donner leurs unités.
2. Calculer l’indice de réfraction $n_3$ de ce verre pour la radiation jaune de longueur d’onde $\lambda_3 = 589\ \text{nm}$, puis sa vitesse de propagation $v_3$ dans ce verre.
3. Calculer la longueur d’onde de cette radiation jaune à l’intérieur du verre.
4. Un rayon de lumière blanche arrive sur la face plane de ce verre sous l’angle d’incidence $i = 60^\circ$. Calculer l’angle de réfraction de la radiation bleue, puis celui de la radiation rouge. En déduire l’écart angulaire entre les deux rayons réfractés.

Un faisceau étroit de lumière blanche arrive en un point $I$ de la première face d’un prisme en verre d’angle au sommet $A = 60^\circ$, sous l’angle d’incidence $i = 50^\circ$. Le faisceau se réfracte en $I$, se propage dans le verre, puis se réfracte de nouveau en $J$ sur la deuxième face avant d’atteindre un écran. On étudie les deux radiations extrêmes du faisceau : une radiation rouge d’indice $n_R = 1{,}612$ et une radiation violette d’indice $n_V = 1{,}671$.

1. Calculer les vitesses de propagation $v_R$ et $v_V$ des deux radiations dans le verre du prisme.
2. Pour la radiation rouge, calculer les angles $r$, $r'$ et $i'$, puis la déviation $D_R$.
3. Pour la radiation violette, calculer les angles $r$, $r'$ et $i'$, puis la déviation $D_V$. En déduire l’écart angulaire $\Delta D = D_V - D_R$.
4. Calculer l’angle de réfraction limite $\ell$ de la radiation violette, puis la valeur minimale de l’angle d’incidence $i$ pour que cette radiation sorte du prisme.

Rappel utile : la fréquence d’une radiation monochromatique ne change pas lors du passage d’un milieu transparent à un autre ; ce sont sa vitesse et sa longueur d’onde qui changent.